Uma equação, daquelas que estudamos no Ensino Fundamental, é uma sentença matemática aberta expressa por uma igualdade. Lá a variável representa um número, ou seja a incógnita é um número.
Uma equação diferencial segue a mesma linha, ou seja, é uma sentença matemática aberta em que a incógnita é uma função e esta está envolvida em derivadas.
Neste pequeno texto falaremos das Equações Diferenciais Ordinárias, ou seja, aquelas em que as incógnitas são funções de apenas uma variável ($y=y(x)$, $x=x(t)$, ...), que sejam lineares, homogêneas e possuem coeficientes constantes.
Uma EDO Linear tem a forma $$\underbrace{a_n(x).y^{(n)}+a_{n-1}(x).y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x).y'+a_0(x)y}_{L(y)}=g(x).$$ A EDO é chamada de homogênea (nesse contexto) quando $g(x)\equiv 0$, ou seja, se ela tem a forma $L(y)=0$. Por fim, ela é dita de coeficientes constantes se $a_i(x)=a_i\in \mathbb{R}$. Assim, o nosso universo de estudo está entre as EDOs que têm a seguinte forma: $$a_n.y^{(n)}+a_{n-1}.y^{(n-1)}+\cdots+a_1.y'+a_0(t)y=0$$
Uma equação diferencial segue a mesma linha, ou seja, é uma sentença matemática aberta em que a incógnita é uma função e esta está envolvida em derivadas.
Neste pequeno texto falaremos das Equações Diferenciais Ordinárias, ou seja, aquelas em que as incógnitas são funções de apenas uma variável ($y=y(x)$, $x=x(t)$, ...), que sejam lineares, homogêneas e possuem coeficientes constantes.
Uma EDO Linear tem a forma $$\underbrace{a_n(x).y^{(n)}+a_{n-1}(x).y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x).y'+a_0(x)y}_{L(y)}=g(x).$$ A EDO é chamada de homogênea (nesse contexto) quando $g(x)\equiv 0$, ou seja, se ela tem a forma $L(y)=0$. Por fim, ela é dita de coeficientes constantes se $a_i(x)=a_i\in \mathbb{R}$. Assim, o nosso universo de estudo está entre as EDOs que têm a seguinte forma: $$a_n.y^{(n)}+a_{n-1}.y^{(n-1)}+\cdots+a_1.y'+a_0(t)y=0$$
EXEMPLOS:
- $y''-3y=0$
- $y'''-4y'+8=0$
- $y''''+7y'''+2y'-3=0$
Buscamos uma função $y=y(x)$ que satisfaça a EDO dada.
EDO Linear com coeficientes constantes de 1a ordem
Para uma evolução natural do raciocínio, vamos começar com uma EDO Linear de 1a ordem $by'+cy=0$ ($b\neq 0$). Observe que se isolarmos $y'$ teremos uma equação na forma $y'=ky$, ou seja, procuramos uma função cuja derivada é "múltipla" dela mesma. A única classe de funções com essa característica é a exponencial $y=c_1.e^{m x}$. Vamos considerar $c_1=1$, sem perda de generalidade. Entretanto, se esta função é solução de $by'+cy=0$, como $y'=me^{m x}$ teremos $$bme^{m x}+ce^{m x}=0\Leftrightarrow e^{m x}(bm+c)=0$$Esse produto só será zero de um dos fatores for zero, certo? Como a exponencial nunca se anula teremos que ter $bm+c=0$. Chamaremos essa equação de equação auxiliar. A solução desta equação, é, naturalmente $m_1=-\cfrac{c}{b}$ e assim, a solução da equação diferencial será $$y=c_1.e^{m_1 x}$$.
EDO Linear com coeficientes constantes de 2ª ordem
Pense agora no caso da EDO ser de 2a ordem, ou seja, $$ay''+by'+cy=0.$$Nesse caso ainda buscamos soluções (como a EDO é de 2a ordem, há duas soluções LI) na forma $y=e^{m x}$. O mesmo raciocínio nos leva a uma equação auxiliar na forma $$am^2+bm+c=0.$$ Como se trata de uma equação de 2º grau, sabemos que as soluções podem ser reais e diferentes, iguais ou complexas, dependendo do sinal de $\Delta=b^2-4ac$. Considere que $m_1$ e $m_2$ as soluções desta equação.
Caso 1: $m_1\neq m_2\in \mathbb{R}$
Nesse caso a solução geral da EDO $L(y)=0$ será $$y=c_1.e^{m_1 x}+c_2.e^{m_2 x}$$
Caso 2: $m_1= m_2\in \mathbb{R}$
Nesse caso a solução geral da EDO $L(y)=0$ será $$y=c_1.e^{m_1 x}+c_2.x.e^{m_1 x}$$
Caso 3: $m \in \mathbb{C}-\mathbb{R}$
Nesse caso se $m=\alpha\pm \beta i$ então, a solução geral da EDO $L(y)=0$ será $$y=c_1.e^{\alpha x}cos(\beta x)+c_2.e^{\alpha x}sin(\beta x).$$
No vídeo seguinte mostramos como se chega à forma de solução geral do caso 3 e resolvemos, a partir daí, a EDO $y''+4y=0$
Diversos exercícios envolvendo EDO Linear de 2a ordem com coeficientes constantes
Como resolver essa EDO que os estudantes disseram que estava na aula de Física?Aguarde...
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