sexta-feira, 9 de agosto de 2019

Funções Quadráticas - Introdução

Funções Quadráticas - Introdução

Vamos falar um pouco sobre funções quadráticas? Esse é um tipo de função geralmente estudada no 9º ano e/ou na 1ª Série do Ensino Médio e é, em princípio, uma função bem simples.

Dizemos que $f:A\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ é uma função quadrática se para cada $x$ no domínio da função, $f(x)=ax^2+bx+c$ em que $a$, $b$ e $c$ são números reais com $a\neq 0$.

Função Quadrática - Introdução

É sobre sobre essa função que falaremos a seguir em vídeos seguintes.

Introdução

Nesse vídeo, a seguir, falamos sobre a definição de função quadrática e exemplificamos sua utilidade para modelagem de um problema envolvendo criar um cercado com 100 m de tela, aproveitando um muro existente, de modo que a área seja a maior possível.



Esboço de gráficos de funções quadráticas

No vídeo seguinte falamos sobre como fazer um esboço do gráfico de uma função quadrática, sem ter, necessariamente, que atribuir vários valores para x e encontrar o y correspondente de modo a se ter uma sequência de pontos (x,y) para passar uma curva. Trata-se se entender o significado de cada um dos parâmetros $a$, $b$, $c$ e $\Delta$ da função $f(x)=ax^2+bx+c$ em que $\Delta=b^2-4.a.c$. Apenas lembrando:

  • $c$ indica a posição em que a parábola cruza com o eixo Oy;
  • $b$ indica se a parábola cruza com o eixo Oy na parte crescente (se $b>0$), na parte decrescente (se $b<0$) ou no vértice (se $b=0$);
  • $a$ indica se a parábola tem a concavidade voltara para cima (se $a>0$) ou para baixo (se $a<0$);
  • $\Delta=b^2-4.a.c$ indica se o gráfico cruza com o eixo Ox em dois pontos (se $\Delta>0$), toca em um ponto (se $\Delta=0$) ou não toca o eixo Ox (se $\Delta<0$).
Quando você faz uma análise levando em conta toda essa informação, conseguirá fazer um esboço do gráfico da função quadrática e é sobre isso que tratamos no vídeo seguinte.



No vídeo seguinte, fazemos o gráfico da função $f(x)=-\cfrac23 x^2-5x+\cfrac23$ apenas analisando os sinais dos coeficientes "a", "b" e "c", como mostrado anteriormente.

O vídeo seguinte mostra uma aula ministrada para estudantes universitários em uma revisão rápida sobre funções quadráticas. Nele, falamos sobre funções quadrática, gráficos, como já falamos anteriormente, mas falamos também a respeito de translações horizontais e verticais, ou seja, como é o gráfico de $y=(x-a)^2$ em relação ao gráfico de $y=x^2$? Você vai entender que o primeiro é uma translação horizontal do segundo. Além disso falamos sobre compressão, expansão e explicamos o que o que está no segundo vídeo (significado geométrico para 'a', 'b', 'c' e Delta para a construção do gráfico da função quadrática.

Como se trata de um vídeo de quase 1 h, eis os tempos em que cada assunto é tratado
  • 4:00 Gráfico de $y=(x-2)^2$
  • 18:00 Gráfico de $y=k.x^2$
  • 20:00 Gráfico de $y=k.\sqrt{x}$
  • 23:23 Resumo para $y=a(x-s)^2+r$
  • 25:30 Significado de 'a', 'b', 'c' para o gráfico da parábola
  • 35:00 Gráfico de $y=-3x^2+2x+1$
  • 37:25 Gráfico de $y=\frac23 x^2-\frac34 x-2$
  • 42:00 Significado de $\Delta=b^2-4ac$ para o gráfico da parábola
  • 42:31 Gráfico de $y=-3x^2+2x-4$
  • 50:30 Resumo do significado de 'a', 'b', 'c' e Delta para a construção do gráfico da parábola.



A parábola $y=\sqrt{x}$

Oi que discutimos no vídeo anterior sobre translações horizontais e verticais, pode ser usado para fazer esboço de qualquer função, desde que se saiba o formado do gráfico da função original (a mais simples). Por exemplo, a função $f(x)=\sqrt{x}$ tem como gráfico uma parábola com a concavidade voltada para o eixo $Ox$, como mostra o gráfico a seguir


Do mesmo modo que fizemos com a parábola $y=x^2$, podemos fazer com $y=\sqrt{x}$, $y=\cos(x)$ ou qualquer outra função e é sobre gráficos de funções na forma $y=\sqrt{x+a}+c$ que falamos no vídeo seguinte.


O vértice da parábola

O vértice de uma parábola é o ponto de máximo (se a<0) ou de mínimo (se a>0) e ajuda na solução de vários problemas. No primeiro vídeo desta série, falamos de um problema que envolvia maximizar a área de um cercado feito com 100 m de tela aproveitando um muro existente, como mostra a figura seguinte.


Resolver  esse problema envolve encontrar o maior valor para a função $A(x)=100x-2x^2$ e, do ponto de vista gráfico, precisamos encontrar o $y_v$ (ordenada) do vértice da parábola. No vídeo seguinte mostramos (sem ser muito formal) que $$x_v=-\cfrac{b}{2a}\;\;\mbox{e}\;\;y_v=-\cfrac{\Delta}{4a},$$ considerando uma função $f(x)=ax^2+bx+c$. 

No vídeo fazemos uma breve justificativa sobre como encontrar o $x_v$ como sendo média aritmética das raízes, mas esta é uma justificativa que se aplica bem quando $\Delta>0$. Entretanto, asseguramos que a relação $x_v=-\cfrac{b}{2a}$ é válida também para os casos em que $\Delta=0$ ou $\Delta<0.$ Com recursos de cálculo é bem simples mostrar isso. ;-) É sobre isso que falamos no próximo vídeo.






Aguarde os próximos vídeos...


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