Jean Baptiste Joseph Fourier, ou simplesmente Fourier, foi o nome de um matemático e físico francês que viveu no século XIX e deixou notável contribuição para a matemática. Em particular para a decomposição de um sinal periódico em uma série trigonométrica que levou o seu nome: Série de Fourier.
Basicamente o que diz o Teorema de Fourier é que se temos uma função $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ periódica (vamos supor que o período seja $T=2L$) que seja seccionalmente diferenciável e possíveis descontinuidades do primeiro tipo (aquelas em que os limites laterais existam) e em uma quantidade finita destas descontinuidades. Então,
\begin{equation}\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]\end{equation}
em que
$$a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx$$
$$a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\,dx$$
$$b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\,dx$$
converge para $f(x)$ se $x$ for um ponto de continuidade e para $$\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}$$ se há uma descontinuidade (do tipo 1) no ponto $x=x_0$. Lembrando que $f(x_0^+)$ representa o limite lateral à direita em $x_0$ e $f(x_0^-)$ o limite lateral à esquerda em $x_0$.
Uma discussão completa e a demonstração desse teorema o leitor poderá encontrar no livro Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais do prof. Djairo Guedes Figueiredo.
No vídeo seguinte, não fazemos a demonstração desse teorema, mas mostramos como podemos, olhando para os pontos de continuidade em que é esperado que
\begin{equation}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]\end{equation}
encontrar os candidatos 'naturais' a ser $a_0,\,a_n\,\,\mbox{e}\,\,b_n$, mostrados logo acima.
Além disso, resolvemos um exemplo que consiste em encontrar a Série de Fourier para a função
\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{rcl}
0&\mbox{se}&x\in [-4,0)\\
x&\mbox{se}&x\in[0,4]
\end{array} \right.
\end{equation}
A aula leva cerca de 1h e assim é interessante que você puxe uma cadeira, pegue o caderninho e tente anotar as partes importantes. Tente fazer também o que foi deixado como tarefa, que é algo relativamente simples. Trata-se de mostrar que
Basicamente o que diz o Teorema de Fourier é que se temos uma função $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ periódica (vamos supor que o período seja $T=2L$) que seja seccionalmente diferenciável e possíveis descontinuidades do primeiro tipo (aquelas em que os limites laterais existam) e em uma quantidade finita destas descontinuidades. Então,
\begin{equation}\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]\end{equation}
em que
$$a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx$$
$$a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\,dx$$
$$b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\,dx$$
converge para $f(x)$ se $x$ for um ponto de continuidade e para $$\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}$$ se há uma descontinuidade (do tipo 1) no ponto $x=x_0$. Lembrando que $f(x_0^+)$ representa o limite lateral à direita em $x_0$ e $f(x_0^-)$ o limite lateral à esquerda em $x_0$.
Uma discussão completa e a demonstração desse teorema o leitor poderá encontrar no livro Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais do prof. Djairo Guedes Figueiredo.
No vídeo seguinte, não fazemos a demonstração desse teorema, mas mostramos como podemos, olhando para os pontos de continuidade em que é esperado que
\begin{equation}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]\end{equation}
encontrar os candidatos 'naturais' a ser $a_0,\,a_n\,\,\mbox{e}\,\,b_n$, mostrados logo acima.
Além disso, resolvemos um exemplo que consiste em encontrar a Série de Fourier para a função
\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{rcl}
0&\mbox{se}&x\in [-4,0)\\
x&\mbox{se}&x\in[0,4]
\end{array} \right.
\end{equation}
A aula leva cerca de 1h e assim é interessante que você puxe uma cadeira, pegue o caderninho e tente anotar as partes importantes. Tente fazer também o que foi deixado como tarefa, que é algo relativamente simples. Trata-se de mostrar que
1) $\int_{-L}^{L}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=0\,\,\forall n\in \mathbb{N}$
2) $\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=0\,\,\forall n\in \mathbb{N}$
3) $\int_{-L}^{L}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\,dx=0\,\,\forall n\in \mathbb{N}$
4) $\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\,dx=\left\{\begin{array}{rcl}0&\mbox{se}& m\neq n\\ 0 &\mbox{se}&m=n\,\mbox{com }m,n\in \mathbb{N}\end{array}\right.$
5) $\int_{-L}^{L}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\,dx=\left\{\begin{array}{rcl}0&\mbox{se}& m\neq n\\ 0 &\mbox{se}&m=n\,\mbox{com }m,n\in \mathbb{N}\end{array}\right.$
No vídeo seguinte há dicas de como pode mostrar cada uma das relações anteriores.
Exercícios Resolvidos em Vídeos
A seguir estarão exercícios sobre esse assunto. A ideia é que esta postagem não seja exatamente estática. Sempre que eu resolver algum exercício em sala e postar no Canal Mipedes do YouTube, pretendo adicioná-lo aqui de modo que o leitor possa ter vários exercícios resolvidos logo em seguida.
..
[Exercício resolvido será colocado aqui]
Alguma dúvida, crítica ou sugestão, use o campo de comentário abaixo.
Exercícios Resolvidos em Texto
Nesta seção quero deixar alguns exercícios resolvidos em texto que podem ajudá-los.Aplicações
Este será outra seção que devo modificar sempre que encontrar uma aplicação para esse assunto. Eis algumas aplicações:- Aplicações e Utilizações de Séries de Fourier na Engenharia Elétrica.
- Aplicação de Séries de Fourier para análise de retornos de ativos financeiros
- Aplicação da análise harmônica por séries de Fourier para a previsão de produtividade da cultura do café no estado de Minas Gerais.
Grande abraço
Luís Cláudio LA
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